
#import "../typ/templates/settings.typ": *

== 欧拉公式

前面已经引入了复数的代数形式 $z=a+ii b(a,b in RR)$ 和三角形式 $z=r(cos theta + i sin theta)$, 这一节将引入复数的另一种形式的表达: 指数形式 $z=r  ee^(ii theta)$, 其中的 $r$ 和 $theta$ 与三角形式中的意义相同，为复数 $z$ 的模和辐角。

这种形式源于一个神奇的公式，即著名的 *欧拉公式*
$ ee^(ii theta) = cos theta + ii sin theta $
鉴于到目前为止我们尚未有复指数的定义(但我们现在承认复指数的运算结果仍是复数)，因此这里仅作一些解释，以期从多个视角理解此公式.

第一种看待方法是从微分方程出发，实指数函数 $f(x)=ee^(lambda x)$ 是微分方程 $frac(dif f(x), dif x) = lambda f(x)$ 的解，受此启发，将实变量复值函数 $f(t) = ee^(ii t)$ 也视为复微分方程 $(dif f(t)) / (dif t) = ii f(t)$ 的解，虽然目前还没有引入复值函数的微分概念.

接下来考虑对实变复值函数 $f(t) = ee^(ii t)$ 求微分所代表的实际意义，现在将自变量视为时间(这就是用 $t$ 而不是用 $x$ 来表自变量的原因), 那么 $f(t)$ 作为一个复数代表复平面上的一个点(或者向量)，而 $f(t)$ 就描述了一个动点随时间变化的运动轨迹(可视为值为向量的函数，即位移函数)，那么自然的，对 $f(t)$ 求微分的结果便是速度向量函数(即也是向量值函数), 而 $(dif f(t)) / (dif t) = ii f(t)$ 就意味着，速度向量始终与位移向量的长度相同但方向始终垂直(沿逆时针方向旋转一个直角), 而初始值 $f(0)=ee^(ii dot 0) = 1$ 位于复平面上的 $z=1$ 即坐标为 $(1, 0)$ 的点处，而初始速度 $v(0) = ii f(0) = ii$, 即大小为 1 但方向向量为沿 $y$ 轴正方向, 显然这就是一个沿着单位圆且角速度为 1 的匀速圆周运动.

经过时长 $t$ 之后，转动过的角度为 $t$, 此时点在单位圆上的位置为 $(cos t, sin t)$ 处，即有 
$ ee^(ii t) = cos t + ii sin t $
有了欧拉公式之后，复数 $z=r(cos theta + ii sin theta)$ 可以很自然的写成指数形式:
$ z = r ee^(ii theta) $
这比三角形式更简洁，而且奇迹般的把极坐标的两个分量写到一个式子中去了。

第二种看待方法是从幂级数出发，实指数级数
$ ee^x = 1 + x + frac(x^2, 2!) + dots.c + frac(x^n, n!)+ dots.c $
右侧级数对于任意实数 $x$ 都收敛到 $e^x$.
于是也将 $ee^(ii x)$ 视为同样的级数
$ ee^(ii x) = 1 + ii x + frac((ii x)^2, 2!) + dots.c + frac((ii x)^n, n!)+ dots.c $
先得考虑下这个级数的收敛性，这等价于向量值级数的收敛性，第一项的向量终点为 $(0,1)$, 以此为起点作第二个向量 $(0, x)$, 于是终点为 $(1, x)$，即前两项相加的结果为向量 $(1, x)$, 再以 $(1, x)$ 为起点作第三个向量 $(-frac(x^2, 2), 0)$，得前三项和向量为 $(1-frac(x^2, 2), x)$, 以此类推，由实级数 $ee^x$ 的收敛便可以保证矢量级数$ee^(ii x)$ 的收敛性(柯西收敛准则).

然后因为 $ii^2=-1$，因此上式中指数为偶数的项将都成为实数项，而指数为奇数的项都是虚数，由此将其实部和虚部分开:
$ ee^(ii x) = (1-frac(x^2, 2!)+frac(x^4, 4!)-dots.c) + ii (x - frac(x^3, 3!)+frac(x^5, 5!)-dots.c) $
而实部级数就是 $cos x$，而虚部级数就是 $sin x$, 由此就有
$ ee^(ii x) = cos x + ii sin x $

现在换一种方式证明上述两个级数就是 $cos x$ 与 $sin x$,  为此先要证明 $ee^(ii x)$ 的模长与 $x$ 无关且为定值 1, 记上述两个级数分别是 $C(x)$ 与 $S(x)$, 可以验证有
$ C'(x) = -S(x), S'(x)=C(x) $
这里的撇号指求导, 则
$ & frac(dif,dif x) |ee^(ii x)|^2 \ 
= & (C^2(x)+S^2(x))' \
= & 2[C(x)C'(x)+S(x)S'(x)] \
= & 0 $
这表明 $ee^(ii x)$ 的模长与 $x$ 无关，所以有 $|ee^(ii x)| = |ee^(ii dot 0)|=1$.

还需要证明 $ee^(ii x)$ 的辐角就是 $x$, 设 $ee^(ii x)$的辐角为 $phi(x)$, 则
$ tan phi(x) = frac(S(x), C(x)) $
左边导数为
$ (1+tan^2 phi(x)) phi'(x) = (1+ frac(S^2(x), C^2(x))) phi'(x) = frac(phi'(x), C^2(x)) $
右边的导数为
$ frac(S'(x)C(x)-S(x)C'(x), C^2(x)) = frac(1, C^2(x)) $
由此得
$ phi'(x) = 1 $
即 $phi(x) = x + "const"$, 当 $x=0$时，取 $ee^(ii dot 0)$ 的辐角 $phi(0)$ 为0, 则得 $phi(x)=x$, 结论得证.

指数形式下的复数乘法更加直观(指数运算规则假定和实数一样)
$ r_1 ee^(ii theta_1) dot r_2 ee^(ii theta_2) = r_1 r_2 dot ee^(ii theta_1)ee^(ii theta_2) = r_1 r_2 ee^(ii (theta_1+theta_2)) $
但是指数形式对于复数的加法无能为力.

现在利用欧拉公式，可将三角函数表达为
$ cos x & = frac(1,2)(ee^(ii x) + ee^(-ii x)) \ 
  sin x & = frac(1, 2ii) (ee^(ii x) - e^(-ii x)) $



